Sachgebiete

Beschreibung:

XII, 450 S. : mit 126 graph. Darst. kart.

Bemerkung:

Das Exemplar ist in einem sehr guten und sauberen Zustand ohne Anstreichungen. -- Inhaltsverzeichnis -- Vorbemerkungen -- Erstes Kapitel -- Vorbereitungen -- § 1. Das Zahlenkontinuum -- Das System der rationalen Zahlen und die Notwendigkeit seiner Er-weiterung S. 3. Das Kontinuum der reellen Zahlen und unendliche Dezimalbrüche S. 6. Ungleichungen S. 8. -- § 2. Der Funktionsbegriff -- Beispiele S. 9. Begriffliche Formulierung S. 10. Geometrische Dar-stellung. Stetigkeit. Monotone Funktionen S. 11. S. 15. Umkehrfunktionen -- § 3. Nähere Betrachtung der elementaren Funktionen Die rationalen Funktionen S. 16. Algebraische Funktionen S. 18. Die trigonometrischen Funktionen S. 19. Logarithmus S. 20. Exponentialfunktion und -- § 4. Funktionen einer ganzzahligen Veränderlichen ständige Induktion Zahlenfolgen Voll-Definition und Beispiele S. 21. Das Prinzip der vollständigen Induk-tion S. 22. Beispiel: Die Summe der ersten n Quadrate S. 24. -- § 5. Der Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge. Beispiele an=1 S. 25. n an=Vp S. 27. S. 27. 1 a2m; azm-1= m 1 2m S. 26. n an=n+1 an=a" S. 29. Zur geometrischen Ver-anschaulichung der Grenzwerte von a" und "p S. 30. Die geometrische Reihe S. 31. S. 33. an=n S 32. an=n+1-Vn S32. an= n an -- § 6. Genauere Erörterung des Grenzwertbegriffes. -- Definition der Konvergenz S. 33. Zweite Definition der Konvergenz S. 35. Monotone Folgen S. 36. Rechnen mit Grenzwerten S. 37. Die Zahl e S. 38. Beweis der Irrationalität von e. S. 40. Die Zahl ? als Grenzwert S. 40. Das arithmetisch-geometrische Mittel S. 41. Motivierung der präzisen Grenzwertdefinition S. 42. -- §7. Der Begriff des Grenzwertes bei stetigen Veränderlichen -- Definitionen und Beispiele S. 43. S. 45. Motivierung der Begriffsbildung -- § 8. Der Begriff der Stetigkeit -- Definitionen S. 47. Unstetigkeitspunkte S. 48. Sätze über stetige Funktionen S. 52. -- Anhang I zum ersten Kapitel -- Vorbemerkungen -- §1. Das Häufungsstellen-Prinzip und seine Anwendungen. -- Das Häufungsstellen-Prinzip S. 54. - Intervallschachtelung und Zahlen-kontinuum S. 55. Grenzwerte von Zahlenfolgen S. 56. Beweis des CAUCHYschen Konvergenzkriteriums S. 58. Oberer und unterer Häu-fungspunkt, obere und untere Grenze einer Zahlenmenge S. 59. -- § 2. Sätze über stetige Funktionen -- Größter und kleinster Wert stetiger Funktionen S. 60. mäßigkeit der Stetigkeit S. 61. Die Gleich-Der Zwischenwertsatz S. 63. kehrung einer stetigen monotonen Funktion S. 64. stetige Funktionen S. 65. Um-Weitere Sätze über -- § 3. Bemerkungen über die elementaren Funktionen -- Anhang II zum ersten Kapitel -- § 1. Polarkoordinaten -- § 2. Bemerkungen über komplexe Zahlen -- Zweites Kapitel -- Grundbegriffe der Integral- und Differentialrechnung -- § 1. Das bestimmte Integral -- Das Integral als Flächeninhalt S. 71. Die analytische Definition des Integrales S. 72. Ergänzungen, Bezeichnungen und Grundregeln für das bestimmte Integral S. 74. -- § 2. Beispiele -- Erstes Beispiel S. 76. bei beliebigem positiven beliebiges rationales S. 80. Zweites Beispiel S. 77. ganzzahligen a S. 78. Integration von xa Integration von xª für 1 S79. Integration von sin und cos x -- § 3. Die Ableitung oder der Differentialquotient -- Differentialquotient und Kurventangente S. 82. quotient als Geschwindigkeit S. 85. Beispiele S. 86. regeln für die Differentiation S. 89. der Funktionen S. 89. Der Differential-Einige Grund-Differenzierbarkeit und Stetigkeit Höhere Ableitungen und ihre Bedeutung S. 91. Differentialquotienten und Differenzenquotienten; Bezeichnungen von LEIBNIZ S. 92. Der Mittelwertsatz S. 94. beliebiger Funktionen durch lineare. Angenäherte Darstellung Differentiale S. 97. Be-merkungen über die Anwendungen unserer Begriffe in der Naturwissen-schaft S. 98. -- § 4. Das unbestimmte Integral, die primitive Funktion und die Fundamental-sätze der Differential- und Integralrechnung Das Integral als Funktion der oberen Grenze S. 100. quotient des unbestimmten Integrales S. 101. Der Differential-Die primitive Funktion (Stammfunktion); allgemeine Definition des unbestimmten Integrales -- S. 103. Die Verwendung der primitiven Funktion zur Ausführung be- -- stimmter Integrale S. 106. -- Einige Beispiele S. 107. -- § 5. Einfachste Methoden zur graphischen Integration -- § 6. Weitere Bemerkungen über den Zusammenhang zwischen dem Integral und dem Differentialquotienten Die Massenverteilung und Dichte; Gesamtquantität und spezifische Quantität S. 110. Gesichtspunkte der Anwendungen S. 112. -- § 7. Integralabschätzungen und Mittelwertsatz der Integralrechnung Der Mittelwertsatz der Integralrechnung S. 114. gration und Differentiation von x S. 117. Anwendung: Inte- -- Anhang zum zweiten Kapitel -- § 1. Die Existenz des bestimmten Integrales einer stetigen Funktion -- § 2. Zusammenhang des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung -- Drittes Kapitel -- Differential- und Integralrechnung der elementaren Funktionen -- § 1. Die einfachsten Differentiationsregeln und ihre Anwendungen Differentiationsregeln S. 122. tionen S. 124. Differentiation der rationalen Funk-Differentiation der trigonometrischen Funktionen S. 125. -- § 2. Die entsprechenden Integralformeln Allgemeine Integrationsregeln S. 126. Funktionen S. 127. Integration der einfachsten -- § 3. Die Umkehrfunktion und ihr Differentialquotient Die allgemeine Differentiationsformel S. 128. Die Umkehrfunktionen der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen S. 130. hörigen Integralformeln S. 134. Die zuge- -- § 4. Die Differentiation der zusammengesetzten Funktionen Die Kettenregel S. 135. Beispiele S. 137. Nochmals Integration und Differentiation von x für irrationales a S. 138. -- § 5. Maxima und Minima -- Geometrische Bedeutung der zweiten Ableitungen (Konvexität) S. 140. Maxima und Minima S. 141. Beispiele für Maxima und Minima S. 144. -- § 6. Logarithmus und Exponentialfunktion Definition des Logarithmus. Differentiationsformel S. 148. Das Additionstheorem S. 150. Monotoner Charakter und Wertevorrat des Logarithmus S. 151. Die Umkehrfunktion des Logarithmus (Exponen-tialfunktion) S. 151. Die allgemeine Exponentialfunktion at und die allgemeine Potenz xa S. 153. Exponentialfunktion und Logarithmus dargestellt durch Grenzwerte S. 154. Schlußbemerkungen S. 156. -- § 7. Einige Anwendungen der Exponentialfunktion Charakterisierung der Exponentialfunktion durch eine Differential-gleichung S. 157. Stetige Verzinsung. Radioaktiver Zerfall S. 158. Abkühlung oder Erwärmung eines Körpers in einem umgebenden Me-dium S. 159. Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe über dem Erdboden S. 160. Verlauf chemischer Reaktionen S. 161. Ein- und Ausschalten eines elektrischen Stromes S. 162. -- § 8. Die Hyperbelfunktionen Analytische Definition S. 163. Additionstheoreme und Differentia-tionsformeln S. 164. Die Umkehrfunktionen S. 165. Weitere Ana-logien S. 166. -- § 9. Die Größenordnung von Funktionen -- Begriff der Größenordnung. Einfachste Fälle S. 168. Die Größen-ordnung der Exponentialfunktion und des Logarithmus S. 169. - All-gemeine Bemerkungen S. 171. Die Größenordnung einer Funktion in der Umgebung eines beliebigen Punktes S. 171. Größenordnung des Verschwindens einer Funktion S. 172. -- Anhang zum dritten Kapitel -- § 1. Betrachtung einiger spezieller Funktionen -- Die Funktion y = e ^ (- 1/(x ^ 2)) S. 173. Die Funktion y = e ^ (- 1/x) S. 174. -- Die Funktion y = /mathfrak{P}*/mathfrak{g} * 1/x S. 174. Die Funktion y = x*/mathfrak{P}_{B} * 1/x S. 175. -- Die Funktion y = x * sin(1/x) , y(0) = 0S * 0.176 -- § 2. Bemerkungen über die Differenzierbarkeit von Funktionen -- § 3. Verschiedene Einzelheiten -- Beweis des binomischen Satzes S. 177. S. 178. Fortgesetzte Differentiation Weitere Beispiele für Anwendung der Kettenregel. Verallge-meinerter Mittelwertsatz S. 179. -- Viertes Kapitel -- Weiterer Ausbau der Integralrechnung -- § 1. Zusammenstellung der elementaren Integrale -- § 2. Die Substitutionsregel -- Die Substitutionsformel S. 182. Neuer Beweis der Substitutions-formel S. 186. Beispiele. Integrationsformeln S. 187. -- § 3. Weitere Beispiele zur Substitutionsmethode -- § 4. Die Produktintegration -- Allgemeines S. 191. Beispiele S. 193. Rekursionsformeln S. 194. Die WALLISSChe Produktzerlegung von ? S. 195. -- § 5. Integration der rationalen Funktionen -- Aufstellung der Grundtypen S. 198. S. 199. Die Partialbruchzerlegung S. 200. tionen S. 202. Integration der Grundtypen Beispiel. Chemische Reak-Weitere Beispiele für Partialbruchzerlegung. (Methode der unbestimmten Koeffizienten) S. 203. -- § 6. Integration einiger anderer Funktionenklassen -- Vorbemerkungen über die rationale Darstellung der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen S. 205. Integration von R (cosx, sin x) S. 207. Integration von R (Cos x, Sin x) S. 207. R(x, sqrt(1 - x ^ 2)) S. 207. Integration von Integration von R(x, sqrt(x ^ 2 - 1)) S. 208. von R(x, sqrt(x ^ 2 + 1)) S. 208. Inte-Integration R(x, sqrt(a * x ^ 2 + 2bx + c)) S. 208. für Zurückführung auf Funktionen S. 209. Bemerkungen zu den Beispielen S. 210. -- §7. Bemerkungen über Funktionen, die sich nicht mittels der elementaren Funktionen integrieren lassen Definition von Funktionen durch Integrale. Elliptische Integrale S. 211. Grundsätzliches über Differentiation und Integration S. 213. -- § 8. Erweiterung des Integralbegriffes. Uneigentliche Integrale -- Funktionen mit Sprungstellen S. 214. keitsstellen S. 214. Funktionen mit Unendlich-Unendliches Integrationsintervall S. 217. -- Anhang zum vierten Kapitel -- Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung -- Fünftes Kapitel -- Anwendungen -- § 1. Darstellung von Kurven Die Parameterdarstellung S. 223 Die zu einer Kurve gehörigen Differentialquotienten bei Parameterdarstellung S. 226. Übergang zu neuen Koordinatensystemen bei Parameterdarstellung S. 228. meine Bemerkungen S. 229. Allge- -- § 2. Anwendung auf die Theorie der ebenen Kurven Der Flächeninhalt in rechtwinkligen Koordinaten S. 230. Die Unab-hängigkeit vom Koordinatensystem S. 235. Beispiel: Ellipse S. 236. Flächeninhalt in Polarkoordinaten S. 236. Länge einer Kurve S. 237. Krümmung S. 241. Schwerpunkt und statisches Moment einer Kurve S. 243. Flächeninhalt und Volumen einer Rotationsfläche S. 244. Trägheitsmoment S. 245. -- § 3. Beispiele -- Die Zykloide S. 246. Kettenlinie S. 247. S. 248. Ellipse und Lemniskate -- § 4. Die einfachsten Probleme der Mechanik. Grundvoraussetzungen aus der Mechanik S. 249. bung S. 251. Freier Fall. Rei-Die einfachste elastische Schwingung S. 253. Die all-gemeine Bewegung auf einer vorgegebenen Kurve S. 254. -- § 5. Weitere Anwendungen: Fall eines Massenpunktes auf einer Kurve Allgemeines S. 256. liche Pendel S. 259. Diskussion der Bewegung S. 258. Das Zykloidenpendel S. 260. Das gewöhn- -- § 6. Arbeit -- Allgemeines S. 261. Erstes Beispiel. Massenanziehung S. 263. Zweites Beispiel. Spannen einer Feder S. 264. laden eines Kondensators S. 264. Drittes Beispiel. Auf- -- Anhang zum fünften Kapitel -- Eigenschaften der Evolute -- Sechstes Kapitel -- Die TAYLORSche Formel und die Annäherung von Funktioner durch ganze rationale -- § 1. Der Logarithmus und der Arcustangens. Der Logarithmus S. 268. Der Arcustangens S. 271. -- § 2. Die allgemeine TAYLORSChe Formel Die TAYLORSche Formel für ganze rationale Funktionen S. 272. Die TAYLORSChe Formel für eine beliebige Funktion S. 273. Abschätzung des Restgliedes S. 276. -- §3. Anwendungen. Entwicklung der elementaren Funktionen ....... Die Exponentialfunktion. Irrationalität von e S. 278. sin x, cos x, Sin x, Cos x S. 280. Die binomische Reihe. Ein allgmeiner Satz über Konvergenz der TAYLORSchen Reihe einer Funktion mit nicht negativen Ableitungen aller Ordnungen S. 281. -- § 4, Geometrische Anwendungen. -- Berührung von Kurven S. 285 lationskreis S. 287. Der Krümmungskreis als Osku-Zur Theorie der Maxima und Minima S. 287. -- Anhang zum sechsten Kapitel -- § 1. Beispiel einer Funktion, die sich nicht in eine TAYLORSChe Reihe ent-wickeln läßt -- § 2. Approximation beliebiger stetiger Funktionen durch Polynome und trigo-nometrische Summen -- Der Satz von WEIERSTRASS S. 289. Approximation von * S. 289. -- Beweis des WEIERSTRASSschen Approximationssatzes S. 291. dungen. Trigonometrische Approximation S. 292. Anwen- -- §3. Nullstellen, Unendlichkeitsstellen von Funktionen und sog. unbestimmte Ausdrücke. -- § 4. Interpolation -- Problemstellung und Vorbemerkungen S. 296. Lösung. Die NEWTONSChe Interpolationsformel S. 298. Konstruktion der Restabschätzung S. 300. Die Interpolationsformel von LAGRANGE S. 302 -- Siebentes Kapitel -- Exkurs über numerische Methoden -- Vorbemerkungen. -- § 1. Numerische Integration -- Rechtecksregel S. 303. Trapezformel und Tangentenformel. S. 304 -- Die SIMPSONSche Regel S. 304 zung S. 306. Beispiele S. 305. Fehlerabschät- -- §2. Anwendungen des Mittelwertsatzes und des TAYLORSchen Satzes -- Die,, Fehlerrechnung" S. 308. Berechnung von ? S. 310. Be- -- rechnung der Logarithmen S. 311. -- §3. Numerische Auflösung von Gleichungen -- Das Verfahren von NEWTON S. 312. Das Iterationsprinzip S. 315. Regula falsi S. 314. Beispiel -- S. 315. -- Anhang zum siebenten Kapitel -- Die STIRLINGsche Formel -- Achtes Kapitel -- Unendliche Reihen und andere Grenzprozesse -- Vorbemerkungen -- § 1. Die Begriffe Konvergenz und Divergenz -- Grundbegriffe S. 321 Absolute und bedingte Konvergenz S. 323. Umordnung der Reihenglieder S. 326. lichen Reihen S. 329. Das Rechnen mit unend- -- § 2. Untersuchung der Konvergenz und Divergenz -- Das Prinzip der Reihenvergleichung S. 330. geometrischen Reihe S. 331 Vergleichung mit der Vergleichung mit einem Integral S. 333. -- §3. Grenzübergänge und Reihen von Funktionen einer Veränderlichen -- Allgemeines S. 335. Grenzübergänge mit Funktionen und Kurven S. 336 -- § 4. Gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz Allgemeines und Beispiele S. 338. -- Konvergenz S. 342. Kriterium der gleichmäßigen Stetigkeit gleichmäßig konvergenter Reihen stetiger Funktionen S. 344. - Die Integration gleichmäßig konvergenter Reihen S. 345. Differentiation unendlicher Reihen S. 346. -- § 5. Potenzreihen -- Das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe S. 348. Die Integration und Differentiation von Potenzreihen S. 350. reihen S. 351. Das Rechnen mit Potenz-Eindeutigkeitssatz für die Potenzreihen S. 352. -- § 6. Entwicklung gegebener Funktionen in Potenzreihen. Methode der unbe-stimmten Koeffizienten. Beispiele -- Die Exponentialfunktion S. 354. Die binomische Reihe S. 354. -- Die Reihe für arc sin x S. 356. Ar S.n x = log (x + 1/1+x²) S. 356. tion S. 357. S. 357. Die Potenzreihenentwicklung von Beispiel für Reihenmultiplika-Beispiel für glied weises Integrieren. Elliptisches Integral -- § 7. Potenzreihen mit komplexen Gliedern -- Einführung komplexer Glieder in Potenzreihen S. 358. Ausblick auf die allgemeine Theorie analytischer Funktionen S. 360. -- Anhang zum achten Kapitel -- § 1. Multiplikation und Division von Reihen Multiplikation absolut konvergenter Reihen S. 361. und Division von Potenzreihen S. 362. Multiplikation -- § 2. Grenzübergänge, die mit der Exponentialfunktion zusammenhängen Die Gleichmäßigkeit des Grenzüberganges ? ex S. 363. Be-merkung über Integration und Differentiation der Exponentialfunktion S. 365. Beweis der Formel fe- ** d x = ? S. 365. 0 *1+) 8 -- § 3. Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale -- § 4. Unendliche Produkte -- § 5. Weitere Beispiele für unendliche Reihen Verschiedene Entwicklungen S. 370. -- Neuntes Kapitel -- FOURIERsche Reihen -- § 1. Die periodischen Funktionen -- Allgemeines S. 373. Zusammensetzung von reinen Schwingungen. Obertöne. Schwebungen S. 376. -- § 2. Die Verwendung der komplexen Schreibweise -- Allgemeine Bemerkungen S. 380. Anwendung in der Lehre vom Wechselstrom S. 381. Komplexe Darstellung der Superposition von reinen Schwingungen S. 383. Ableitung einer trigonometrischen For-mel S. 383. -- §3. Beispiele für die FOURIERSCHE Reihe -- Form der FOURIERSchen Reihenentwicklung S. 384. Entwicklung der Funktionen y(x) = x und p(x) = x² S. 386. Funktion x cos x S. 387. f(x)=x S. 388. Entwicklung der 5. Beispiel S. 389. -- f(x)=sinx S. 389. Entwicklung der Funktion cos ux. Partial-bruchzeriegung des Kotangens. Produktzerlegung des Sinus S. 389. - Weitere Beispiele S. 391. -- 4. Beweis der FOURIERSchen Reihenentwicklung -- § Die Konvergenz der FOURIERSchen Reihe einer stückweise glatten Funktion S. 391. Genauere Untersuchung der Konvergenz. sche Ungleichung S. 396. BESSEL- -- § 5. Die mittlere Approximation durch trigonometrische Polynome -- Anhang zum neunten Kapitel -- § 1. BERNOULLISCHE Polynome und ihre Anwendungen -- Definition und FOURIER-Entwicklung S. 404. Erzeugende Funktion und TAYLORSChe Reihe des trigonometrischen und hyperbolischen Ko-tangens S. 406. EULERSCHE Summenformel S. 408. Anwendungen (konvergente Entwicklungen, Summen von Potenzen, Rekursionsformeln für die BERNOULLISchen Zahlen, EULERSche Konstante, STIRLINGS Formel, Asymptotische Reihenauswertungen) S. 410. -- § 2. Integration von FOURIERSChen Reihen -- § -- 3. Trigonometrische Interpolation -- Die Interpolationsformel S. 417. Beispiele zur trigonometrischen Interpolation S. 421. -- Zehntes Kapitel -- Die Differentialgleichungen der einfachsten Schwingungsvorgänge -- § 1. Schwingungsprobleme der Mechanik und Physik -- Einfachste mechanische Schwingungen S. 426. Elektrische Schwin-gungen S. 428. -- § 2. Lösung der homogenen Gleichung. Freie Bewegungen Formale Auflösung S. 429. S. 431. Physikalische Deutung der Lösung Anpassung an gegebene Anfangsbedingungen. Eindeutigkeit -- der Lösung S. 432. -- § 3. Unhomogene Gleichung. Erzwungene Bewegungen -- Allgemeine Bemerkungen S. 433. chung S. 435. Lösung der unhomogenen Glei-Die Resonanzkurve S. 436. Schwingungsablaufes S. 439. Nähere Diskussion des Bemerkungen über Registrierinstrumente S. 440. -- Schlußbemerkung -- Sachverzeichnis. ISBN 9783540054665